(i) 1 + x 2 > (x sin x + cosx)

Let f(x) = 1 + x 2 – x sinx – cosx, x ∈ [0, ∞ )

f ′ (x) = 2x – sinx – x cos x + sin x = x(2 – cosx)

⇒ f ′ (x) > 0 for x ∈ (0, ∞ )

⇒ f(x) is an increasing function

∴ x > 0 ⇒ f(x) > f(0) ⇒ 1 + x 2 > x sinx + cosx

(ii) f(x) = sin x – sin 2x – 2x

f ′ (x) = cos x – 2 cos 2x – 2

= cos x – 2(2 cos 2 x – 1) – 2

= cos x – 4 cos 2 x = cosx (1 – 4 cosx), x ∈

⇒ cos x ≥ ⇒ cos x(1 – 4 cos x) < 0

∴ f ′ (x) < 0 ∀ x ∈

f(x) ≤ f(0) ⇒ sinx – sin2x – 2x ≤ 0 ⇒ sinx – sin2x ≤ 2x

(iii) f(x) = + 2x + 3 – 3e x + xe x

f ′ (x) = x + 2 – 3e x + e x + xe x

= x + 2 – 2e x + xe x

f ″ (x) = 1 – 2e x + e x + xe x

= 1 – e x + xe x

f ′″ (x) = – e x + e x + xe x = xe x

f ′″ (x) ≥ 0 ∀ x ≥ 0 ⇒ f ″ (x) ≥ f ″ (0) ⇒ f ″ (x) ≥ 0

⇒ f ′ (x) ≥ f ′ (0) ⇒ f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ f(0) ⇒ f(x) > 0

⇒ + 2x + 3 ≥ 3e x – xe x

(iv) f(x) = x sin x –

f ′ (x) = x cos x + sin x – sin x cosx = x cos x + sin x (1 – cos x)

f ′ (x) > 0 for x ∈ ⇒ f(x) > f(0) or x sin x – > 0

and f(x) < f , x sin x – < –

⇒ x sinx – < ( π – 1)

──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────