Prove that the average of the numbers
2 sin 2 º , 4 si 4 º , 6 sin 6 º , .........180 sin 180 º is cot 1 º
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We have to prove that
2 sin 2 º + 4 sin 4 º +.........+ 178 sin 178 º = 90 cot 1 º
which is equal to
2 sin 2 º . sin1 º + 2(2sin 4º.sin1 º ) +.........+ 89 (2sin 178 º . sin1 º ) = 90 cos1 º
We know that
2 sin 2k º sin1 º = cos(2k – 1) º – cos(2k + 1) º
We have
2 sin 2 º . sin1 º + 2 (2sin4 º .sin1 º ) + 3 (2 sin 6 º sin 1 º ) + 4(2 sin 8 º sin 1 º ) +......+ 89 (2sin178 º . sin1 º )
= (cos1 º – cos3 º ) + 2(cos3 º – cos 5 º ) +........+ 89(cos 177 º – cos179 º )
= cos 1 º + cos 3 º + cos 5 º + cos 177 º + 89 cos 1 º
= cos 1 º + 89 cos 1 º + (cos 3 º + cos 5 º + ...... + cos 177 º )
= 90 cos 1 º + 0
= 90 cos 1 º
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